(MATEMÁTICAS) Descripción detallada de los Métodos para Resolver Sistemas de Ecuaciones

Método de Sustitución

1.- Despajamos 1 de las incógnitas en 1 de las ecuaciones. Podemos coger cualquiera de las 2 incógnitas en cualquiera de las 2 ecuaciones, pero es preferible despejar la incógnita que no tenga coeficiente (es decir que sea 1), y si es posible que sea positivo. Si no es posible, cogeremos la que no tenga coeficiente aunque sea negativo. Por último, si no hay otra opción, cogemos una incógnita que tenga coeficiente (que no sea 1), pero en este caso ya sabemos que tendremos que trabajar con denominadores en nuestras ecuaciones. 2.- Sustituimos en la otra ecuación la incógnita que hemos despejado en el paso anterior por la expresión despajada. Ahora nos habrá quedado una ecuación con 1 sola incógnita (justamente la contraria a la que hemos despejado en el paso 1) 3.- Resolvemos la ecuación de 1 sola incógnita y hallamos el valor de la incógnita (la contraria a la que hemos despejado en el paso 1) 4.- Resolvemos la otra incógnita. Para ello, sustituimos en la expresión del paso 1 la otra incógnita por el valor que hemos hallado en el paso anterior.

Método de Igualación

1.- Despajamos 1 de las incógnitas en las 2 ecuaciones. Tiene que ser la misma incógnita en ambas ecuaciones. Podemos coger cualquiera de las 2 incógnitas, aunque (como en sustitución) será preferible la incógnita que no tenga coeficientes, o la que al menos no tenga coeficiente en 1 de las ecuaciones. Si no es posible, cogemos la que sea, sabiendo que trabajaremos con denominadores. 2.- Igualamos las expresiones que hemos obtenido al despejar en las 2 ecuaciones. Ahora nos habrá quedado una ecuación con 1 sola incógnita (justamente la contraria a las que hemos despejado en el paso 1) 3.- Resolvemos la ecuación de 1 sola incógnita y hallamos el valor de la incógnita (la contraria a la que hemos despejado en el paso 1) 4.- Resolvemos la otra incógnita. Para ello, sustituimos en la expresión del paso 1 la otra incógnita por el valor que hemos hallado en el paso anterior.

Método de Reducción

1.- Hallamos dos  ecuaciones equivalentes que puedan reducirse. Esto quiere decir que debemos hallar dos números de modo que al multiplicar la primera ecuación por uno de los números y la segunda ecuación por el otro, obtengamos dos nuevas ecuaciones de modo que al restarlas se nos vaya (se nos reduzca) una de las incógnitas. Podemos ir probando con distintos números, pero hay un método general que, aunque a veces es algo más largo, siempre nos permite encontrar esos dos números directamente. El método general consiste en seleccionar la incógnita que queremos que se nos vaya. A continuación cogemos el coeficiente de dicha incógnita en ambas ecuaciones. Esos serán los 2 números que buscamos. A continuación, multiplicamos cada ecuación (entera) por el coeficiente que tiene la incógnita seleccionada en la otra ecuación. Esto lo haremos 2 veces, una con la primera ecuación (que se multiplica por el coeficiente de la 2ª) y otra con la segunda ecuación (que se multiplica por el coeficiente de la 1ª). 2.- Reducimos las 2 ecuaciones. Es decir restamos a la primera, la segunda, y así conseguimos que se nos vaya la incógnita que habíamos elegido. En lugar de restarlas, es más fácil cambiar el signo de la 2ª ecuación y sumarla con la 1ª (como hacíamos al restar polinomios). En realidad, podemos cambiarle el signo a cualquiera de las 2 ecuaciones y sumarlas. Así habremos llegado a una nueva ecuación que tiene 1 sola incógnita. 3.- Resolvemos la ecuación de 1 sola incógnita y hallamos el valor de la incógnita (la contraria a la que hemos despejado en el paso 1) 4.- Resolvemos la otra incógnita. Para ello, sustituimos su valor en cualquiera de las ecuaciones que tenemos en nuestro sistema (incluso en las equivalentes que hemos hallado al multiplicarlas por los coeficientes de la otra ecuación). Y en la ecuación que nos queda con 1 sola incógnita, calculamos el valor de esta otra incógnita.

Método Gráfico

1.- Representamos la gráfica (línea recta) de cada una de las 2 ecuaciones. Para ello, en cada ecuación: ·         Despejamos una incógnita. Podemos despejar tanto la X como la Y. Tiene más sentido despejar la Y por similitud a como trabajamos con las funciones, pero si es más fácil despejar la X, podemos hacerlo. ·         Hacemos una Tabla de Valores. Para ello, le damos valores a la incógnita que NO hemos despejado y usando la expresión despejada en el paso anterior, calculamos los valores de esta otra incógnita. ·         Representamos los puntos obtenidos. Cada pareja de valores de X e Y de la tabla de valores es un punto de nuestra gráfica. Unimos los puntos obtenidos con una línea recta. Si hay algún punto que no esté en la recta, es porque hemos cometido algún error, lo revisamos. 2.- Interpretamos las gráficas. Vemos qué ocurre con las 2 gráficas. Hay 3 posibilidades: ·         Son Paralelas. Las 2 rectas no tienen ningún punto en común, es decir, no tienen soluciones comunes, por lo tanto, el sistema NO TIENE SOLUCIÓN. Este tipo de sistemas se llama SISTEMAS INCOMPATIBLES. ·         Son Coincidentes. Las 2 rectas son exactamente la MISMA RECTA, es decir, se dibuja una justo encima de la otra. En este caso, tienen infinitos puntos en común, es decir, el sistema tiene INFINITAS SOLUCIONES. Este tipo de sistemas se llama SISTEMAS COMPATIBLES INDETERMINADOS. ·         Son Secantes. Es decir, las 2 rectas se cortan en un solo punto. Las coordenadas de ese punto (X e Y) son los valores de la solución del sistema. Estos sistemas tienen UNA ÚNICA SOLUCIÓN. Se llaman SISTEMAS COMPATIBLES DETERMINADOS.